Klášter Agia Napa je dominantou stejnojmenného městečka Agia Napa (Ayia Napa). Název kláštera, postaveného ve stylu středověkého hradu a vesnice, která pak vznikla kolem něho, odkazuje na starořecké slovo napa, což znamená "zalesněné údolí".
V dávných dobách byla celá oblast, kde se nyní nalézá klášter a vesnice, hustě zalesněná. Zavítalo sem jen pár lovců z okolních vesnic.
Vypráví se, že v 11. století tady jeden lovec se psem pronásledoval divokého zajíce, který pak náhle zmizel. Pes ho ovšem pronásledoval až do jeho úkrytu v jeskyni.